martes, 25 de marzo de 2014

MÉTODO DE CROSS - ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES

El méodo de Cross enfoca el problema del cálculo del entramado por otro camino.
Consideremos de nuevo el entramado de la figura 4-4. Primneraniente procedamos a retirar las cargas que actúan sobre sus piezas. A continuación bloqueamos los nudos, impidiéndolcs todo giro. Volvamos ahora a aplicar de nuevo las cargas exteriores. Estas actúan sobre una estructura alterada, que tiene impedidos los giros de sus nudos. En este sentido no representa a la estructura verdadera, cuyos nudos hubieran girado bajo la acción de las cargas hasta alcanzar su posición de equilibrio.


En cambio, en la estructura alterada es muy fácil determinar los momentos de empotramiento, pues estando sus nudos bloqueados, dichos momentos son los de empotramiento perfecto. Sin embargo, la suma de los momentos de empotramiento de las piezas concurrenies en cada nudo no será nula, es decir, que el nudo no estará en equilibrio. Dicha suma es en realidad un momento cíe desequilibrio.

Si aplicamos al nudo un momenw de igual valor y signo opuesto (momento equilibrante) de hecho habremos suprimido el bloqueo del nudo, pues éste no tendrá tendencia al giro.

El momenlo equilibrane se repartirá entre las extremidades de las distintas piezas concurrentes en el nudo en proporción a sus rigideces, puesto que al girar el nudo. todas las piezas concurrentes giran el mismo ángulo. La relación de la parte de momento equilibrante que se lleva cada pieza. al momento equilibrante total, es lo que llamaremos coeficiente de reparto (o coeficiente de distribución) y es igual, por (anto. al cociente de la rigidez de la pieza considerada, dividido por la suma de las rigideces de todas las piezas que concurren en el nudo.

El nudo en la situación actual parece estar equilibrado, pero no es así, pues al distribuir el momento equilibrante a las extremidades de las distintas piezas concurrentes en el nudo, se realizará una transmisión de momento de esta extremidad a la opuesta. Como en los demás nudos de la estructura se habrá procedido análogamente. tamiihin se habrán introducido momentos equilibrantes, distribuyéndolos a las extremidades de sus piezas concurrentes. las cuales transmitirán una parte a sus extremidades opuestas. Es decir que, si hemos equilibrado el nudo C, (ransmi(imos momentos de C a D según la pieza CD, pero al equilibrar el nudo D, transmitiremos momentos a través de DC al nudo C, con lo cual éste no estará en definitiva equilibrado, aunque sí menos desequilibrado que en la etapa inicial.

Si volvemos a calcular en cada nudo el momento de desequilibrio, aplicando a continuación un nuevo momento equilibranie igual y de signo Contrario, procediendo así cíclicamente, los nudos van equilibrándose paulatinamente y la estructura va acercándose a su posición de equilibrio.

El método de Cross es pues un método que, mediante la repetición de ciclos, permite alcanzar la precisión que se desee.

El proceso del método puede resumirse en las siguientes etapas:

1) Calcular las rigideces, coeficientes de reparto y coetcicntes de transmisión en las extremidades de cada pieza.
2) Bloquear los nudos contra el giro.
3) Calcular los momentos de empotramiento perfecto para todas las piezas.
4) Elegir un nudo para liberado en primer lugar. Calcular el momento de desequilibrio de ese nudo.
5) Calcular los momentos repartidos por el momenm equilibrarne. en ese nudo.
6) Realizar este reparto en todos los nudos.
7) Calcular los momentos transmitidos a los extremos opuestos de todas las piez.as que concurren en cada nudo.
8) Volver a bloquear cada nudo y elegir el siguiente para ser liberado. Se repiten las etapas 4, 5 y 6. Esto se hace con todos los nudos.
9) Repetir las etapas 7 y  8 hasta que los momentos de desequilibrio sean suficientemente pequeños.
10) Sumar momentos en cada extremidad de pieza para obtener los momentos de empOtramiento finales.
Más adelante se ac]ara esto con algunos ejemplos.

martes, 18 de marzo de 2014

ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES - MÉTODO GENERAL DE CÁLCULO

1. ENTRAMADOS INTRASLACIONALES

Denominados como tales aquellos entremados cuyos nudos pueden girar pero no experimentan corrimientos en ningún sentido. Un gran número de entramados usuales en construcción pueden asimilarse a este tipo con suficiente precisión.

En todo lo que sigue, se supone que los entramados analizados tienen impedidos los corrimientos de los nudos. No se entra en este apartado en el procedimiento para impedirlos, se lo tratara más adelante.

2. PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA. MÉTODO GENERAL DE CÁLCULO.


2.1 RELACIÓN ENTRE LOS COEFICIENTES ELÁSTICOS

Sea una pieza recta (Fig. 4-1) con empotramiento dorsal y con el apoyo frontal articulado. Apliquemos un momento M'f en el apoyo frontal tal que el giro producido sea





y aplicamos análogamente un momento en el extremo dorsal, libre para girar, tal que se produzca un giro unidad. Será



Pero de acuerdo con el teorema de MAXWELL el momento M'ed producido en el extremo dorsal cuando en el frontal se aplica un giro determinado ha de ser igual al momento M'ef producido en el extremo frontal cuando en el dorsal se aplica el mismo giro. Por tanto,

que establece una relación entre los cuatro coeficientes elásticos de una pieza recta.

2.2 ECUACIONES GENERALES DE LA PIEZA ELÁSTICAMENTE EMPOTRADA

Supongamos primero un pieza rígidamente empotrada en sus extremos y sometida a un conjunto de acciones (P, M, q) y sean Med, Mef los momentos de empotramiento perfecto dorsal y frontal producidos por dicho conjunto de acciones (FIg. 4-3a).

Los momentos reacción de los apoyos sobre las extremidades de la pieza son pues Med, Mef (fig. 4-3b).

Aplicamos ahora el apoyo frontal B un momento exterior M'f tal que produzca un giro θf en ese apoyo  (liberado sólo para girar elásticamente bajo la acción de ese momento). El valor del momento será kf θf y se transmitirá (Fig. 4-3c) al extremo A empotrado rígidamente un momento βfd Kf θf. Análogamente apliquemos ahora en el extremo dorsal un momento M'd tal que produzca un giro θd. El valor del momento será Kd θd y se transmitirá al extremo B, de nuevo rígidamente empotrado, un momento βdf kd θd (Fig. 4-3d):


El estado suma de b), c) y d), es decir el producido por las acciones directamente aplicadas a la pieza más las debidas a los giros elásticos de sus extremos, viene representado por e) y los momentos finales de empotramiento elástico resultan (Fig. 4-3e)



Ecuaciones que permiten calcular los momentos de empotramiento elástico, conocidos los de empotramiento perfecto, los giros de los extremos y los coeficientes elásticos de la pieza.

2.3 MÉTODO GENERAL DE CÁLCULO

Supongamos el entramado de la Fig. 4-4. El método general de cálculo de cualquier entramado es el siguiente:

Incógnitas

a) Los giros de cada nudo (iguales a los giros de cada pieza concurrente en el nudo).
b) Los momentos empotramiento en las extramidades de cada pieza. Conocidos éstos, por superposición con los esfuerzos de la pieza isostática, se tienen los esfuerzos totales.


Si llamanos n al número de nudos y b al de barras, el número de incógnita es 2b + n

Ecuaciones

Por unlado, cada nudo ha de estar en equilibrio, es decir la suma de los momentos en las extremidades de las piezas que concurren en cada nudo ha de ser nula (n ecuaciones). Por otro, en cada barra se han de cumplir las ecuaciones:



lo cual nos proporciona 2 b ecuaciones

En resumen, el problema se concreta en la resolución de un sistema de 2b + n ecuaciones con 2b + n incógnitas.

La dificultad estriba en que la resolución de los sitemas es muy penosa, incluso para estructuras sencillas. En la figura 4-5 se indica el grado del sistema de ecuaciones para algunos casos particulares.

Salvo en casos en que, por consideraciones de simetría, el grado del sistema se reduce, el método es prácticamente inaplicable.

martes, 11 de marzo de 2014

PIEZA RECTA, EMPOTRADA POR SUS EXTREMOS, DE SECCIÓN EI VARIABLE

Sea M1 el moment flector en la viga apoyada por sus extremos y sometida a las mismas cargas. Las secciones de apoyo girarían unos ángulos θd y θf. Para reducir esos ángulos a cero, aplicamos unos momentos en los extremos, de valores Med y Mef. (Momentos que el empotramiento ejerce sobre los extremos de la pieza).



Consideramos un caso de carga , el de la viga isostástica a la que corresponden un ley de moementos M1(x), unas reacciones de apoyo Y1d, Y1f, y una ley de esfuerzos cortantes Q1(x).

Consideremos otro estado, el de la viga isostática pero sometida solamente a la acción de los momentos exteriores Med, Mef que dará  una nueva ley de momentos flectores M2(x), unas reacciones de apoyo Y2d, Y2f, y una ley de esfuerzos cortantes Q2(x).


La suma de los dos estados nos da el estado de doble empotramiento.

Tenemos para el segundo estado aplicando las ecuaciones de equilibrio


La ley de momentos flectores del estado suma será






La condición de doble empotramiento puede expresarse por medio de los dos teoremas de MOHR aplicados a las secciones extremas.

En primer lugar, el ángulo formado por las tangentes a la elástica en los puntos de abscisas x=0 y x=L ha de ser nulo, luego



y en segundo lugar, la tangente en el punto de la élastica de abscisa x=L ha de interceptar en la vertical de abscisa x=0 una distancia nula, o sea


resultando el sistema




Resolviendo este sistema se obtine Med y Mef y con ello las expresiones generales de los esfuerzos resultan:

y las reacciones de apoyo


Caso particular

Un caso particular de notable importancia lo constituye la pieza recta de sección
El constante
En este caso el sistema [3.13], [3.14] se transforma en

Resolviendo el sistema y llamando:

martes, 4 de marzo de 2014

INTRODUCCIÓN. MÉTODOS DE CÁLCULO LINEAL DE ESTRUCTURAS

Entendemos por métodos de cálculo lineal de estructuras, aquéllos que se basan en la hipótesis de que el material que constituye la estructura cumple las leyes de HOOKE y BERNOUILLI. Esto conduce, como veremos, a la ausencia de puntos singulares en las curvas deformadas de los ejes de las piezas (o, si se quiere, a la continuidad de las derivadas primeras de las funciones que representan dichas curvas deformadas), por lo que a veces son designados como métodos basados en la continuidad teórica”. La esencia de estos métodos está basada en la relación lineal entre momentos y curvaturas y en ellos las solicitaciones son proporcionales a las acciones.

Por supuesto, estos métodos no han estado ni están exentos de críticas y desde hace algunos años empiezan a ser sustituidos por otros basados en hipótesis de deformación plástica o al menos no lineal.

Entre los primeros están los métodos basados en la formación de rótulas plásticas y entre los segundos aquéllos basados en el establecimiento experimental de las funciones no lineales momentos/curvaturas, cuestión esta última en la que se está trabajando intensamente.

Al margen de que los métodos clásicos puedan, en el futuro, ser parcial o totalmente abandonados, es forzoso reconocerles que el extraordinario desarrollo que ha tenido el cálculo de las estructuras y la importancia de sus realizaciones están fundamentalmente basados en ellos.