Modelo de la Analogía eléctrica con Papel Conductor.

La ecuación de Laplace no solo gobierna el flujo establecido del agua a través del suelo, sino que satisface el comportamiento de muchos fenómenos importantes de la física aplicada; entre ellos se cuentan el flujo eléctrico a través de un conductor, el desplazamiento de una membrana elástica en dirección normal a su plano original y varios problemas de la elasticidad, como la teoría de la torsión y de la flexión en ciertas circunstancias. La causa de estas correspondencias se ve clara cuando se considera que las leyes físicas que gobiernan esos fenómenos son en el fondo de la misma naturaleza; así, la ley de Darcy es análoga a la ley de Fourier en calor, a la ley de Hooke en el problema elástico, etc (J. Badillo, 2000).

Se puede recurrir a la analogía de uno de los problemas y compararlos con otras analogías para resolver una situación concreta, estudiando otra analogía planteada en el fenómeno análogo que puede ser más fácil de resolver. La idea básica, es plantear un modelo en el que se estudie un cierto fenómeno análogo al flujo de agua, reproduciendo en ese modelo las circunstancias equivalentes al problema de flujo, de manera que midiendo los conceptos correspondientes en el modelo, se conozca el valor de los conceptos que interesen en el problema de flujo. A diferencia de los modelos en campos calóricos y magnéticos, el campo eléctrico ha permitido desarrollar técnicas de modelos que sirven para representar de un modo relativamente sencillo y expedito muchas regiones de flujo en condiciones variadas de flujo de agua. La correspondencia directa que hay entre un flujo establecido de agua a través de un medio poroso y el flujo establecido de una corriente eléctrica a través de un conductor queda claramente planteada en la Tabla 4.13 (J. Badillo, 2000).

La solución de un problema de flujo en dos dimensiones con este método, exige la construcción de una región de flujo eléctrico geométricamente similar al problema, formada con una lámina delgada de un material conductor apropiado. El campo eléctrico y la región de flujo deben ser enteramente similares geométricamente hablando, ya que la analogía entre ambas situaciones físicas es perfecta, según a lo observado en la Tabla 4.13.

Entre las bordes equipotenciales del modelo debe aplicarse una diferencia de potencial que representará a la diferencia de carga hidráulica existente entre los bordes equipotenciales del prototipo. Por lo general, en estos modelos se usan diferencias de potencial entre los bordes equipotenciales de 6 a 10 voltios y es frecuente usar un ritmo entre las equipotenciales de 1/10 de la caída potencial total, con lo que se obtendrán 9 equipotenciales en el modelo. El problema se resuelve entonces, para un caso de flujo en una región homogénea e isotrópica, midiendo el potencial en voltios existente en cada punto de la superficie del material que constituye el modelo, supuesto que éste es homogéneo e isotrópico en lo que se refiere a su conductividad. La medida se hace con una aguja fina conductora ligada a un voltímetro, ubicándola al azar de tal manera que se tengan suficiente número de puntos de mismo potencial, para así poder trazar las líneas equipotenciales.

Figura 4.77. Modelo de la analogía eléctrica con papel conductor (Wiley, 1982).

(a) Electrodos en los bordes permeables. (b) Electrodos en los bordes impermeables.

En la Figura 4.77 se representa esquemáticamente un modelo para el flujo bajo una presa. Una vez conocido el potencial en un número suficiente de puntos en la superficie conductora, es posible trazar líneas de igual potencial eléctrico que representarán directamente a equipotenciales de la región de flujo; si las equipotenciales eléctricas se han trazado con un ritmo de caída constante, se harán obtenido directamente las equipotenciales que interesan en la región de flujo, la Figura 4.77a muestra estas líneas.

El procedimiento más sencillo para trazar la red de flujo, una ves obtenidas las líneas equipotenciales, es simplemente dibujar la familia de líneas de flujo que sean ortogonales, constituyendo de esta manera una red de flujo con elementos cuadrados.

Otra posibilidad de resolver el problema es invertir el modelo eléctrico, convirtiendo los bordes equipotenciales en bordes aislantes y recíprocamente; las líneas equipotenciales obtenidas en este segundo modelo son las líneas de flujo del primero (Figura 4.77(b). Este segundo procedimiento es más complicado que el primero y tiene el inconveniente adicional de no proporcionar un red de cuadrados. En este caso se obtiene una red de rectángulos de misma proporción largo y ancho, por otra parte trazando apropiadamente las líneas equipotenciales será fácil obtener la red de flujo cuadrada.

Como se ve, en el caso de modelos de flujo confinado, es importante conocer bien las condiciones de borde de la región de flujo para obtener buenos resultados. Sin embargo, en el caso de flujo no confinado el problema se complica algo, ya que no hay ningún concepto en el flujo eléctrico análogo al comportamiento del flujo no confinado. En el caso de flujo no confinado, es esencial conocer la geometría de la línea freática. En la práctica lo que se hace es suponerla de acuerdo al criterio y experiencia del proyectista (el método propuesto por A. Casagrande es de gran ayuda para determinar esta geometría).

Una línea freática correcta, debe cumplir que las diferencias de altura entre puntos de igual caída de potencial hidráulico del prototipo sean iguales y en el modelo que las diferencias de potencial eléctrico entre los puntos correspondientes sean también iguales; en otras palabras, en un modelo que tenga una línea freática correcta debe existir una ley lineal entre las elevaciones de los puntos en que las equipotenciales cortan a la línea y los potenciales eléctricos de esos puntos. Al encontrar la línea freática correcta, se recorta el papel conductor según a la forma de esta. Luego, se traza la red de flujo igual que el caso de flujo confinado, con modificaciones en el borde de salida.